Question

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，直径AB左侧的半圆上有一点动点E（不与点A、B重合），连结EB、ED．
（1）如果∠CBD=∠E，求证：BC是⊙O的切线；
（2）当点E运动到什么位置时，△EDB≌△ABD，并给予证明；
（3）若tanE=，BC=，求阴影部分的面积．（计算结果精确到0.1）
（参考数值：π≈3.14，≈1.41，≈1.73）

Answer 1

解：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ABD+∠BAD=90°．
又∵∠CBD=∠E，∠BAD=∠E，∴∠ABD+∠CBD=90°，即∠ADC=90°．
∴BC⊥AB．∴BC是⊙O的切线．

（2）当点E运动到DE经过点O位置时，△EDB≌△ABD．证明如下：
当点E运动到DE经过点O位置时，∠EBD=∠ADB=90°，
在△EDB与△ABD中，
，
∴△EDB≌△ABD（AAS）．

（3）如图，连接OD，过点O作OF⊥AD于点F，
∵∠BAD=∠E，tanE=，
∴tan∠BAD=．
又∵∠ADB=90°，
∴∠BAD=30°．
∵∠ABC=90°，BC=，
∴AB==4．
∴AO=2，OF=1，AF=AOcos∠BAD=．
∴AD=2．
∵AO=DO，
∴∠AOD=120°．
∴S_阴影=S_扇形OAD-S_△AOD=-×3=2×1=π-≈2.5．
分析：（1）欲证明BC是⊙O的切线，只需证得BC⊥AB；
（2）利用圆周角定理，全等三角形的判定定理AAS证得当点E运动到DE经过点O位置时，△EDB≌△ABD；
（3）如图，连接OD，过点O作OF⊥AD于点F．S_阴影=S_扇形OAD-S_△AOD．由圆周角定理和正切三角函数定义易求AB的长度、圆心角∠AOD=120°．所以根据扇形面积公式和三角形的面积公式进行计算即可．
点评：本题考查了切线的判定、全等三角形的判定以及扇形面积的计算．求（3）题中阴影部分的面积时，采用了“分割法”．