Question

5．如图，在平面直角坐标系中，边长为$\sqrt{2}$的正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线上，BF与AD交于点E，连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，则点M的坐标（1，$\sqrt{2}$-1）或（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 如图，连接AC交AC于M₁，延长CD、BF交于点M₂长，直线BM₂与y轴交于点N，连接DM₁，OM₁．首先证明点M₁，M₂计算满足条件的点．求出它们的坐标即可．

解答 解：如图，连接AC交AC于M₁，延长CD、BF交于点M₂长，直线BM₂与y轴交于点N，连接DM₁，OM₁．

DBF=∠FBO=∠EDO=∠EOD=22.5°，
∴△BDM₁∽△ODE，△BDM₂∽△DEO，
∵B（2，0），M₂（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴直线BM₂的解析式为y=（-$\sqrt{2}$+1）x+2$\sqrt{2}$-2．
∴点N（0，2$\sqrt{2}$-2），
∵M₁D=M₁B=M₁O，
∴∠M₁OB=∠M₁BO，
∵∠M₁OB+∠NOM₁=90°，∠ONB+∠OBN=90°，
∴∠ONB=∠NOM₁，
∴OM₁=NM₁=M₁B，
∴M₁（1，$\sqrt{2}$-1），
∴满足条件的点M的坐标为（1，$\sqrt{2}$-1）或（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
故答案为（1，$\sqrt{2}$-1）或（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查相似三角形的性质、正方形的性质、三角形的外接圆与外心、一次函数等知识，解题的关键是学会利用一次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．