Question

如图，二次函数y=a（x²-2mx-3m²）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，-3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．
（1）用含m的代数式表示a；
（2）求证：

AD

AE

为定值；
（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）由C在二次函数y=a（x²-2mx-3m²）上，则其横纵坐标必满足方程，代入即可得到a与c的关系式．
（2）求证

AD

AE

为定值，一般就是计算出AD、AE的值，然后相比．而求其长，过E、D作x轴的垂线段，进而通过设边长，利用直角三角形性质得方程求解，是求解此类问题的常规思路，如此易得定值．
（3）要使线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，且（2）中

AD

AE

=

3

5

，则可考虑若GF使得AD：GF：AE=3：4：5即可．由AD、AE、F点都易固定，且G在x轴的负半轴上，则易得G点大致位置，可连接CF并延长，证明上述比例AD：GF：AE=3：4：5即可．

解答：（1）解：将C（0，-3）代入二次函数y=a（x²-2mx-3m²），
则-3=a（0-0-3m²），
解得 a=

1

m2

．

（2）证明：如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．

由a（x²-2mx-3m²）=0，
解得 x₁=-m，x₂=3m，
则 A（-m，0），B（3m，0）．
∵CD∥AB，
∴D点的纵坐标为-3，
又∵D点在抛物线上，
∴将D点纵坐标代入抛物线方程得D点的坐标为（2m，-3）．
∵AB平分∠DAE，
∴∠DAM=∠EAN，
∵∠DMA=∠ENA=90°，
∴△ADM∽△AEN．
∴

AD

AE

=

AM

AN

=

DM

EN

．
设E坐标为（x，

1

m2

(x2-2mx-3m2)），
∴

3

1 m2 (x2-2mx-3m2)

=

3m

x-(-m)

，
∴x=4m，
∴E（4m，5），
∵AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，
∴

AD

AE

=

AM

AN

=

3

5

，即为定值．

（3）解：如图2，记二次函数图象顶点为F，则F的坐标为（m，-4），过点F作FH⊥x轴于点H．
连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G．

∵tan∠CGO=

OC

OG

，tan∠FGH=

HF

HG

，
∴

OC

OG

=

HF

HG

，
∴OG=3m．
∵GF=

GH2+HF2

=

16m2+16

=4

m2+1

，
  AD=

AM2+MD2

=

9m2+9

=3

m2+1

，
∴

GF

AD

=

4

3

．
∵

AD

AE

=

3

5

，
∴AD：GF：AE=3：4：5，
∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点的横坐标为-3m．

点评：本题考查了二次函数性质、勾股定理及利用直角三角形性质求解边长等知识，总体来说本题虽难度稍难，但问题之间的提示性较明显，所以是一道质量较高的题目．