Question

9．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S₁，以CD为斜边作等腰直角三角形，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S₂，…按照此规律继续下去，则S₂₀₁₆的值为（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²⁰¹³
• B． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²⁰¹⁴
• C． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹³
• D． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁴

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质结合三角形的面积公式可得出部分S_n的值，根据面积的变化即可找出变化规律“S_n=4×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$”，依此规律即可解决问题．

解答 解：观察，发现：S₁=2²=4，S₂=$（2×\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=2，S₃=$（\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=1，S₄=$（1×\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=$\frac{1}{2}$，…，
∴S_n=$[2×（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n-1}]^{2}$=4×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴S₂₀₁₆=4×$（\frac{1}{2}）^{2016-1}$=$（\frac{1}{2}）^{2013}$．
故选C．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形的面积、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“S_n=4×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$”是解题的关键．