Question

20．如图，点P是Rt△ABC斜边AC的中点，动点E、F分别在AB、BC上且保持∠EPF=45°，若以P为圆心的圆与AB相切，试探究动直线EF与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 由题意可证明△PEB∽△FPC，△PEB∽△FPC，则得出点P到AB和EF的距离相等，即可得出结论．

解答 解：直线EF与⊙P相切，理由如下：
在△PEB和△FPC中，∠EPB+∠FPC=135°，∠EPB+∠PEB=135°，
∴∠FPC=∠PEB．
又∵∠B=∠C，
∴△PEB∽△FPC．
∴$\frac{BE}{CP}$=$\frac{EP}{CF}$．
∵△PEB∽△FPC，
∴$\frac{BE}{CP}$=$\frac{PE}{PF}$．
∴$\frac{BE}{BP}$=$\frac{PE}{P}$．
又∵∠B=∠EOF=45°，
∴△BEP∽△PEF．
∴∠BEP=∠PEF．
∴点P到AB和EF的距离相等．
∵AB与⊙O相切，
∴点O到EF的距离等于⊙O的半径．
∴EF与⊙P相切．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及切线的性质，是一道综合题，难度偏大．