Question

如图，已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．
（1）若AD=5，BC=11，梯形的高是4，求梯形的周长；
（2）若AD=a，BC=b，梯形的高是h，梯形的周长为c．则c=

 

；
（请用含a、b、h的代数式表示；答案直接写在横线上，不要求证明．）
（3）若AD=3，BC=7，BD=5

2

，求证：AC⊥BD．

Answer 1

分析：（1）可过A，D两点引BC的垂线，然后根据两底的差和高的值，求出AB，CD两边，然后再得出梯形的周长；
（2）由（1）的解题过程即可得出a，b，h和c的关系式；
（3）由全等三角形ACB和DBC不难得出∠DBC=∠ACB，那么要证AC⊥DB，就要先求出∠DBC=45°，辅助线的方法同（1）过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，得出BE=CF=2后即可得出BF，CE的长，然后在直角三角形DBF中可根据BD，BF的长来证得∠DBC是45°，进而可得出AC⊥DB的结论．

解答：解：（1）过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F．则四边形ADFE是矩形．
∵四边形ABCD是等腰梯形，且AB，CD是腰，
∴∠B=∠C，AB=CD．
∵∠AEB=∠DFC，
∴△ABE≌△CDF．
∴BE=CF=

BC-AD

2

=3．
∴直角三角形ABE中，BE=3，AE=4．
根据勾股定理可得出AB=5．
∴四边形ABCD的周长是AD+BC+2AB=26．

（2）c=2

( b-a 2 )2+h2

+a+b；

（3）过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F．则四边形ADFE是矩形．
根据（1）可得出BE=CF=

BC-AD

2

=2，
∴BF=CE=2+3=5．
直角三角形BFD中，BD=5

2

，BF=5，∴cos∠DBF=

BF

BD

=

2

2

．
∴∠DBF=45°，同理可得：∠ACE=45°．
∴AC⊥BD．

点评：本题主要考查等腰梯形的性质的应用．