Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与AB边和BC边分别交于点D、点E，连接CD，且CD=CA，BD=，      

tan∠ADC=2．                                             

  （1）求证：CD是半⊙O的切线；                      

（2）求半⊙O的直径；

（3）求AD的长.

Answer 1

（1）证明：联结OD ∵CD=CA，OB=OD

∴∠CAD=∠A，∠ODB=∠OBD

∵∠ACB=90°，∴∠A+∠OBD=90°

∴∠CDA+∠ODB=90°

∴∠CDO=90°

∴CD⊥OD                              

∵点D在半⊙O上，∴CD是半⊙O的切线  

（2）联结DE

∵BE是半⊙O的直径，

∴∠EDB=90°  

∵tan∠ADC=2，∠CAD=∠A

∴tanA=2，∴tan∠EBD=

在△EDB中，∠EDB=90°，BD=，tan∠EBD=

∴BE=15，即半⊙O的直径是15          

（3）在△ABC中，∠ACB=90°，tan∠ABC=

设AC= x,则CD=x,BC=2 x

∵∠CBD+∠A=90°，∠ADC+∠CDE=90°

         ∠CDE=∠CBD   ∴△CDE∽△CBD

        ∴    ∴CE=0.5x

∵∴△BDE∽△BCA ,DE:AC=BD:BC

∴3:x=6:(15+0.5x),   ∴x=10

在△ABC中，∠ACB=90°AC=10,BC=20

∴AB=10,    ∴AD=4