Question

如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=12cm，BC=4cm，现有一动点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿射线AB运动，试回答下列问题：
（1）运动几秒时△PBC为等腰三角形？
（2）运动几秒时△PBC为直角三角形？

Answer 1

分析：（1）由于点P在线段AB上时，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△PBC是等边三角形，然后求出AP，再根据时间=路程÷速度计算即可得解；根据有一个外角是120°时可得出AP′的长，故可得出结论；
（2）分∠BCP=90°和∠BPC=90°两种情况求出BP，再求出AP的长，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解．

解答：解：（1）当点P在线段AB上时，如图1，
∵∠B=60°，△PBC为等腰三角形，
∴△PBC是等边三角形，
∴PB=BC=4cm，
AP=AB-BP=12-4=8cm，
∴运动时间为：8÷2=4秒，；
当点P在线段AB外时，如图1，
∵∠PC=120°，
∴BP=BC=4，
∴此时，PB=AB+BP=12+4=16，
∴时间等于16除以2等于8s．

故运动4秒时△PBC为等腰三角形；

（2）∠BCP=90°时，BP=2BC=2×4=8cm，
∴AP=AB-BP=12-8=4cm，
运动时间为：4÷2=2秒，
∠BPC=90°时，BP=

1

2

BC=

1

2

×4=2cm，
∴AP=AB-BP=12-2=10cm，
∴运动时间为：10÷2=5秒，
故运动2秒或5秒时△PBC为直角三角形．

点评：本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，难点在于（2）要分情况讨论．