Question

化简：
（1）

x3+xy2+1

x3+xy-x2y-y3

•

x2y-xy2

x3+xy2-x2y-y3

+

x2y+xy2

x3+x2y+xy2+y3

•

x2y+y3+1

x2y+y3-x3-xy2

+

x3+y3

x3+x2y+xy2+y3

（2）

1

x(x+a)

+

1

(x+a)(x+2a)

+

1

(x+2a)(x+3a)

+

1

(x+3a)(x+4a)

（3）(

b2-bc+c2

a

+

a2

b+c

-

3

1 b + 1 c

)×

2 b + 2 c

1 bc + 1 ca + 1 ab

+(a+b+c)2
（4）

1

(x-1)(x-2)

+

1

(x-2)(x-3)

+…+

1

(x-n)(x-n-1)

．

Answer 1

分析：（1）先对分子、分母进行因式分解，再约分，最后通分，实现化简．
（2）观察发现

a

x(x+a)

=

1

x

-

1

x+a

，

a (x+a)(x+2a) = 1 x+a - 1 x+2a ，

a (x+2a)(x+3a) = 1 x+a - 1 x+2a ，

a (x+3a)(x+4a) = 1 x+3a - 1 x+4a ，

因而将原式转化为

1

a

(

1

x

-

1

x+a

)+

1

a

(

1

x+a

-

1

x+2a

)+

1

a

(

1

x+2a

-

1

x+3a

)+

1

a

(

1

x+3a

-

1

x+4a

)，再通过提取公因式，求解；
（3）首先将-

3

1 b + 1 c

转化为-

bc

b+c

再与

a2

b+c

通分，将

2 b + 2 c

1 bc + 1 ca + 1 ab

转化为

2(b+c)a a+b+c

，再利用乘法的分配律，进一步通过通分，最终达到目的；
（4）观察发现

1

(x-1)(x-2)

=

1

x-2

-

1

x-1

，

1

(x-2)(x-3)

=

1

x-3

-

1

x-2

…

1

(x-n)[x-(n+1)]

=

1

x-(n+1)

-

1

x-n

1

(x-2)(x-3)

=

1

x-3

-

1

x-2

，…，

1

(x-n)[x-(n+1)]

=

1

x-(n+1)

-

1

x-n

将这些式子代入原式．加减抵消相同项，最终得到结果．

解答：解：（1）
原式=

x3+xy2+1

x2(x-y)+y2(x-y)

•

xy(x-y)

x2(x-y)+y2(x-y)

+ xy(x+y) x2(x+y)+y2(x+y) • x2y+y3+1 y2(y-x)+x2(y-x) + (x+y)(x2-xy+y2) x2(x+y)+y(x+y) = xy(x3+xy2+1) (x2+y2)(x-y)(x2+y2) + xy(x2y+y3+1) (x2+y2)(x2+y2)(y-x) + x2-xy+y2 x2+y2 = xy[x2(x-y)+y2(x-y)] (x-y)(x2+y2)2 + x2-xy+y2 x2+y2 = x2+y2 x2+y2 =1

（2）∵

a

x(x+a)

=

1

x

-

1

x+a

，

a (x+a)(x+2a) = 1 x+a - 1 x+2a ， a (x+2a)(x+3a) = 1 x+a - 1 x+2a ， a (x+3a)(x+4a) = 1 x+3a - 1 x+4a ，

∴原式=

1

a

(

1

x

-

1

x+a

)+

1

a

(

1

x+a

-

1

x+2a

)+

1

a

(

1

x+2a

-

1

x+3a

)+

1

a

(

1

x+3a

-

1

x+4a

)

= 1 a ( 1 x - 1 x+4a )

= 4 x(x+4a)

（3）原式=(

b2-bc+c2

a

+

a2-3bc

b+c

)

2(b+c) bc

a+b+c abc

+(a+b+c)2

=( b2-bc+c2 a + a2-3bc b+c )• 2(b+c)a a+b+c +(a+b+c)2 = 2(b+c)(b2-bc+c2) a+b+c + 2a(a2-3bc) a+b+c +(a+b+c)2

= 2b3+2c3+2a3-6abc a+b+c +(a+b+c)2 = 2(a3+b3+c3-3abc)+(a+b+c)3 a+b+c = 2(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)+(a+b+c)3 a+b+c = (a+b+c)(2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc+a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc) a+b+c = (a+b+c)(3a2+3b2+3c2) a+b+c =3a2+3b2+3c2

（4）∵

1

(x-1)(x-2)

=

1

x-2

-

1

x-1

1

(x-2)(x-3)

=

1

x-3

-

1

x-2

…

1

(x-n)[x-(n+1)]

=

1

x-(n+1)

-

1

x-n

∴原式=

1

x-2

-

1

x-1

+

1

x-3

-

1

x-2

+…+

1

x-(n+1)

-

1

x-n

= 1 x-(n+1) - 1 x-1 = n (x-1)[x-(n+1)]

点评：本题考查分式的混合运算，关键是通分，合并同类项，注意混合运算的运算顺序．同学们特别注意（2）中的

a

x(x+a)

=

1

x

-

1

x+a

，

a (x+a)(x+2a) = 1 x+a - 1 x+2a ，

a (x+2a)(x+3a) = 1 x+a - 1 x+2a ，

a (x+3a)(x+4a) = 1 x+3a - 1 x+4a ，

（4）中

1

(x-1)(x-2)

=

1

x-2

-

1

x-1

，

1

(x-2)(x-3)

=

1

x-3

-

1

x-2

…

1

(x-n)[x-(n+1)]

=

1

x-(n+1)

-

1

x-n

1

(x-2)(x-3)

=

1

x-3

-

1

x-2

，…，

1

(x-n)[x-(n+1)]

=

1

x-(n+1)

-

1

x-n

有效转化．