Question

利用配方法证明：无论x取何实数值，代数式-x²-x-1的值总是负数，并求它的最大值．

Answer 1

分析：先配方得到：-x²-x-1=-（x²+x+

1

4

）+

1

4

-1=-（x+

1

2

）²-

3

4

，根据非负数的性质得到-（x+

1

2

）²≤0，-（x+

1

2

）²-

3

4

＜0，即可得到结论；并且x=

1

2

时，-x²-x-1有最大值-

3

4

．

解答：证明：-x²-x-1=-（x²+x+

1

4

）+

1

4

-1
=-（x+

1

2

）²-

3

4

，
∵-（x+

1

2

）²≤0，
∴-（x+

1

2

）²-

3

4

＜0，
即无论x取何实数值，代数式-x²-x-1的值总是负数，
当x=

1

2

时，-x²-x-1有最大值-

3

4

．

点评：题考查了配方法的应用：对于求代数式的最值问题，先通过配方，把代数式变形成一个完全平方式加上一个数的形式，利用非负数的性质确定代数式的最值．