Question

如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是线段AB，BC，CA上的点，
（1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；
（2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论。

Answer 1

解：（1）△DEF是等边三角形，
    证明如下：
     ∵△ABC是等边三角形，
    ∴∠A=∠B=∠C，AB=BC=CA
    又∵AD=BE=CF，∴DB=EC=FA
     ∴△ADF≌△BED≌△CFE。
    ∴DF=DE=EF，即△DEF是等边三角形。
（2）AD=BE=CF成立，
    证明如下：如图，
    ∵△DEF是等边三角形，
    ∴DE=EF=FD，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°
    ∴∠1+∠2=120°
    又∵△ABC是等边三角形，
    ∴∠A=∠B=∠C=60°
    ∴∠2+∠3=120°
    ∴∠1=∠3 同理∠3=∠4
    ∴△ADF≌△BED≌△CFE
    ∴AD=BE=CF