Question

11．如图，△ABC中，以BC为直径的半圆O交AB于点D．点E为$\widehat{BD}$的中点，CE与AB交于点F，且AF=AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BC=8，BF=4，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理得出∠BEC=90°，∠EBF=∠BCE，得出∠EBF+∠EFB=90°，再证出∠EFB=∠ACF，求出∠ACF+∠BCE=90°，即可得出结论；
（2）连接CD，作FM⊥BC于M．设AC=AF=x，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出x，再证明Rt△FCD≌Rt△FCM，可得CM=CD=$\frac{24}{5}$，BM=$\frac{16}{5}$，BD=$\frac{32}{5}$，设DF=FM=y，在Rt△FBM中，根据FM²+BM²=FB²，列出方程求出y即可；

解答 （1）证明：连接BE，如图所示：
∵BC为直径，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBF+∠EFB=90°，
∵E为弧BD的中点，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{BE}$，
∴∠EBF=∠BCE，
∵AC=AF，
∴∠ACF=∠AFC，
∵∠AFC=∠EFB，
∴∠EFB=∠ACF，
∴∠ACF+∠BCE=90°，
∴OC⊥AC，
∵AC经过⊙O外端点C，
∴AC是⊙O的切线；

（2）解：连接CD，作FM⊥BC于M．设AC=AF=x

在Rt△ACB中，∵AC²+BC²=AB²，
∴x²+8²=（x+4）²，
∴x=6，
∴AC=6，AC=10，
∵BC是直径，
∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，
∵$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$•AB•CD，
∴CD=$\frac{24}{5}$，
∵$\widehat{DE}$=$\widehat{BE}$，
∴∠FCD=∠FCB，
∵FD⊥DC，FM⊥BC，
∴FD=FM，∵CF=CF，
∴Rt△FCD≌Rt△FCM，
∴CM=CD=$\frac{24}{5}$，BM=$\frac{16}{5}$，BD=$\frac{32}{5}$，设DF=FM=y，
在Rt△FBM中，∵FM²+BM²=FB²，
∴y²+（$\frac{16}{5}$）²=（$\frac{32}{5}$-y）²，
解得y=$\frac{12}{5}$，
∴DF=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．