Question

4．如图，已知∠A=ɑ，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线相交于点 A₁，得∠A₁；若∠A₁BC 的 平分线与∠A₁CD 的平分线相交于点 A₂，得∠A₂…∠A₂₀₁₅BC 的平分线与∠A₂₀₁₅CD 的平分线相交于点 A₂₀₁₆，得∠A₂₀₁₆，则∠A₂₀₁₆=$\frac{α}{{2}^{2016}}$．（用含ɑ的式子表示）

Answer 1

分析 根据角平分线的定义可得∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，整理即可求出∠A₁的度数，同理求出∠A₂，可以发现后一个角等于前一个角的$\frac{1}{2}$，根据发现后一个角等于前一个角的$\frac{1}{2}$的规律即可得解，把∠A=α代入∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A可求得答案．

解答 解：∵A₁B是∠ABC的平分线，A₁C是∠ACD的平分线，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，
∴$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠A₁，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，
同理可得∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$∠A=$\frac{1}{4}$∠A，
由此可得一下规律：∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A，
当∠A=α时，∠A₂₀₁₆=$\frac{α}{{2}^{2016}}$，
故答案为：$\frac{α}{{2}^{2016}}$．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的$\frac{1}{2}$是解题的关键．