Question

如图，M、N为直线l上的两个动点（M在N的左侧），点A为直线l外一点，且到直线l的距离为6，∠MAN=45°．
（1）当AM=AN时，求MN的长；
（2）当AM≠AN时，作AB⊥l，垂足为B．若BM=2，求MN的长．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）如图，过点A作AB⊥MN于点B，过点M作MH⊥AN于点H．根据等腰三角形“三线合一”的性质、面积法求得AN²=6

2

MN．
然后在Rt△ABN中，利用勾股定理可以列出关于MN的方程，通过解方程求得MN的值；
（2）需要分类讨论：点B在点M的左侧和右侧两种情况．以点B在点M的右侧为例进行分析：通过相似三角形△MNH∽△ANB的对应边成比例得到

MN

AN

=

MH

AB

，在直角△ABM中，由勾股定理知AM=2

10

，则MH=

2

2

AM=2

5

，所以把相关线段的长度代入比例式求得BN=

5

3

AN-2．然后在Rt△ABN中，根据勾股定理得到：
36+（

5

3

AN-2）²=AN²．易求AN、BN的值．

解答：解：（1）如图，过点A作AB⊥MN于点B，过点M作MH⊥AN于点H．
在Rt△MAH中，∠A=45°，
∴MH=

2

2

AM=

2

2

AN．
∵

1

2

MN•AB=

1

2

AN•MH，
∴6MN=AN•

2

2

AN，即AN²=6

2

MN．
在Rt△ABN中，AB²+BN²=AN²，36+（

MN

2

）²=AN² 
即36+（

MN

2

）²=6

2

MN
∴MN ₁=12

2

+12（舍去），MN ₂=12

2

-12；
                    
（2）如图①所示，当点B在点M右侧时．易证△MNH∽△ANB．
∴

MN

AN

=

MH

AB

，
∴MN•AB=AN•MH，即6MN=AN•MH．
又∵MB=2，AB=6，
∴AM=

22+62

=2

10

∴MH=

2

2

AM=2

5

，
∴6MN=2

5

AN，
∴6（2+BN）=2

5

AN．
∴BN=

5

3

AN-2．
又∵在Rt△ABN中，AB²+BN²=AN²．
即 36+（

5

3

AN-2）²=AN²．
解得：AN=3

5

，
∴BN=

5

3

AN-2=3．
∴MN=2+3=5．

如图②所示，当点B在点M左侧时．
易证△MNH∽△ANB，
∴

MN

AN

=

MH

AB

．
∴MN•AB=AN•MH，即6MN=AN•MH．
∵MB=2，AB=6，
∴AM=

22+62

=2

10

，
∴MH=

2

2

AM=2

5

，
∴6MN=2

5

AN，∴6（BN-2）=2

5

AN，
∴BN=

5

3

AN+2．
又∵在Rt△ABN中，AB²+BN²=AN²，即36+（

5

3

AN-2）²=AN²．
解得AN=6

5

．
∴BN=

5

3

AN+2=12，
∴MN=12-2=10．
综上：若BM=2，MN=10或5．

点评：本题考查了相似综合题．此题难度较大，需要学生对相似三角形知识的综合运用能力．本题也可作∠BAC=45°，利用全等、相似，进而求解．