如图.在平面直角坐标系中.Rt△ABO的斜边OA落在y轴的正半轴上.OA.OB的长是方程x2-63x+24=0的两根.把△AOB折叠.使点B落在y轴正半轴上.折痕与AB边相交于点C．(1)求A点的坐标．(2)求折痕OC所在直线的解析式．(3)点P是直线OC上一点.在坐标平面内是否存在点Q.使以A.C.P.Q为顶点的四边形是一个菱形?若存在.直接写出点Q的坐标,若不存在.请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的斜边OA落在y轴的正半轴上，OA、OB的长是方程x2-6

x+24=0的两根，把△AOB折叠，使点B落在y轴正半轴上，折痕与AB边相交于点C．
（1）求A点的坐标．
（2）求折痕OC所在直线的解析式．
（3）点P是直线OC上一点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是一个菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）求出已知方程的解得到OA与OB的长，确定出A的坐标即可；
（2）由OB的长为OA长的一半，得到∠BAO=30°，根据折叠的性质得到∠AOC=∠BOC=30°，设AC=OC=2x，则有BC=x，在直角三角形BOC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OC的长，过C作CE垂直于x轴，利用锐角三角函数定义求出OE与CE的长，确定出C坐标，设直线OC解析式为y=kx，将C坐标代入求出k的值，即可确定出解析式；
（3）存在，分三种情况考虑：①当P与O重合时，C关于y轴对称点为Q，连接AQ，PQ，由AD=PD，CD=QD，且AC=PC，得到四边形ACPQ为菱形，求出此时Q的坐标；②以A为圆心，AC长为半径画弧，与y轴交于P′，延长EC到Q′，使CQ′=AC，连接P′Q′，此时四边形AP′Q′C为菱形，求出Q′坐标；③以A为圆心，AC长为半径画弧，与y轴交于P″，延长CE到Q″，使CQ″=AC，连接P″Q″，四边形ACQ″P″为菱形，求出Q″的坐标，综上，得到所有满足题意Q的坐标．

解答：

解：（1）方程x²-6

x+24=0，
分解因式得：（x-4

）（x-2

）=0，
解得：x=4

或x=2

，
∴OA=4

，OB=2

，
则A（0，4

）；

（2）在Rt△AOB中，OA=4

，OB=2

，即OB=

OA，
∴∠BAO=30°，∠AOB=60°，
由折叠的性质得：∠AOC=∠BOC=30°，
∴∠BAO=∠AOC=30°，
∴AC=OC，
在Rt△BOC中，∠BOC=30°，
∴OC=2BC，
设BC=x，则有AC=OC=2x，
∴AB=AC+CB=OC+BC=3x=

OA2-OB2

=6，
解得：x=2，
∴OC=4，
过C作CE⊥x轴于E，
在Rt△OCE中，∠COE=60°，
∴∠OCE=30°，
∴OE=

OC=2，CE=

OC2-OE2

，
∴C（2，2

），
设直线OC解析式为y=mx，将C坐标代入得：2

=2m，
解得：m=

，
则直线OC解析式为y=

x；

（3）存在，有三种情况：
①由折叠的性质的：OD=OB=2

，
∴AD=OA-OD=4

-2

，即AD=OD，
设Q为C关于y轴的对称点，即QD=CD，
连接AQ，OQ，此时P与O重合，
∵AD=OD，QD=CD，且AC=OC，
∴四边形ACPQ为菱形，
∵C（2，2

），
∴Q（-2，2

）；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，与y轴交于P′，延长EC到Q′，使CQ′=AC，连接P′Q′，
此时四边形AP′Q′C为菱形，Q′坐标为（2，2

+4）；
③以A为圆心，AC长为半径画弧，与y轴交于P″，延长CE到Q″，使CQ″=AC，连接P″Q″，
四边形ACQ″P″为菱形，此时Q″坐标为（2，4-2

），
综上，Q的坐标为（-2，2

）或（2，2

+4）或（2，4-2

）．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，以及一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

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