Question

如图正方形AOBC，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，EF与OB交于G，连接AE、AB、BF．
（1）求证：AE=BF；
（2）若∠AEO=90°，AB=，OE=3，求OG的长．

Answer 1

（1）证明：在正方形AOBC中，AO=BO，
在等腰Rt△EOF中，EO=FO，
∵∠AOE+∠BOE=90°，∠BOF+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
∵在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴AE=BF；

（2）解：∵AB=5，
∴AO=BO=AB=×5=5，
∵∠AEO=90°，
∴AE===4，
根据（1）BF=AE=4，
∵∠EOG+∠BOF=∠EOF=90°，
∠FBG+∠BOF=180°-90°=90°，
∴∠EOG=∠FBG，
又∵∠EGO=∠FGB（对顶角相等），
∴△EOG∽△FOB，
∴==，
∴OG=5×=．
分析：（1）根据正方形的性质可得AO=BO，根据等腰直角三角形的性质可得EO=FO，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠BOF，然后利用“边角边”证明△AOE和△BOF全等，根据全等三角形的即可得证；
（2）根据正方形的性质求出BO的长，再利用勾股定理列式求出AE，从而得到BF的长，然后根据同角的余角相等求出∠EOG=∠FBG，然后求出△EOG和△FOB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出，然后求解即可．
点评：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及同角的余角相等的性质，证明边相等，利用两边所在的三角形全等进行证明是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．