Question

在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB，D为AO上一点，过点D作CD的垂线，过B点作BC的垂线，两垂线交于的G，过G作GH⊥AB，求证：CO=DH．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,解直角三角形

专题：证明题

分析：根据等腰直角三角形的性质，可得CO=AO=BO，根据等角的正切值相等，可得

b

a

=

a+b-x

x

，可得OD=BH=GH，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．

解答：证明：∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴CO=AO=BO．
∵GD⊥CD，GB⊥BC，GH⊥AB，CO⊥AB，
∴∠OBC=∠GBH═45°=∠BGH．
∵GH=BH，
∴∠CDG=∠CBG=∠GHD=90°，
∴∠DCO∠=GDH，
∴tan∠DCO=tan∠GDH．
设CO=AO=BO=a；OD=b，BH=GH=x，
∴tan∠DCO=

CD

CO

=

b

a

，
tan∠DCH=

GH

DH

=

OD+OB-BH

GH

=

a+b-x

x

，
∴

b

a

=

a+b-x

x

，
bx=a（a+b）-ax，
∴（a+b）x=a（a+b）
x=a，
即：OD=BH=GH
在Rt△DOC和Rt△GHD中，

∠DCO=∠GDH ∠DOC=∠GHD=90° OD=GH

，
∴△DOC≌△GHD（AAS），
∴CO=DH．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等腰直角三角形的性质，等角的正切值相等，全等三角形的判定与性质．