Question

当自然数n的个位数分别为0，1，2，…，9时，n²，n³，n⁴，n⁵的个位数如表所示：

（1）从所列的表中你能发现什么规律？
（2）若n为自然数，和数1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ不能被10整除，那么n必须满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）根据表格观察可得；（2）分情况讨论，①n=4k，②n=4k+1，③n=4k+2，④n=4k+3（k为自然数）来讨论，结合表格的规律，计算和数最后数字，即可判断能否被10 整除，从而找出n满足的条件．

解答：解：（1）当自然数n的个位数分别为0、1、5、6时，n²，n³，n⁴，n⁵的个位数也是0、1、5、6；
当自然数n的个位数为4、9时，n²，n³，n⁴，n⁵的个位数是4、6，9、1交替．
（2）分n=4k，4k+1，4k+2，4k+3（k为自然数）来讨论，
①当n=4k时，1981ⁿ、1982ⁿ、1983ⁿ、1984ⁿ的个位数字分别是1、6、1、6，则1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ个位数字为4，
故10 不能整除1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ；
②当n=4k+1时，1981ⁿ、1982ⁿ、1983ⁿ、1984ⁿ的个位数字分别是1、2、3、4，则1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ个位数字为0，
故10 能整除1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ；
③当n=4k+2时，1981ⁿ、1982ⁿ、1983ⁿ、1984ⁿ的个位数字分别是1、4、9、6，则1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ个位数字为9，
故10 能整除1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ；
④当n=4k+3时，1981ⁿ、1982ⁿ、1983ⁿ、1984ⁿ的个位数字分别是1、8、7、4，则1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ个位数字为0，
故10 能整除1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ；
故当且仅当n=4k时，和数1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ不能被10整除．

点评：本题考查的是数的整除．如果一个整数的个位数字是0，则能被10整除．