Question

⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，AE⊥DC交DC于点E．
（1）求证：AC是∠EAB的平分线；
（2）若圆的半径为3，BD=2，DC=4，求AE和BC．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵ED为圆O的切线，
∴OC⊥ED，
又AE⊥ED，
∴OC∥EA，
∴∠EAC=∠ACO，
又OA=OC，∴∠OAC=∠ACO，
∴∠EAC=∠OAC，即AC是∠EAB的平分线；

（2）解：∵OC∥AE，
∴∠OCD=∠E，∠COD=∠EAD，
∴△OCD∽△DEA，
∴=，即=，
解得：AE=，
∵CD=4，BD=2，AD=8，
即CD²=BD•AD，且夹角∠D为公共角，
∴△BCD∽△ACD，且相似比==，
∴=，即AC=2BC，
∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC²+BC²=AB²，
即4BC²+BC²=36，解得：BC=．
分析：（1）连接OC，由切线的性质得到OC与ED垂直，又AE与ED垂直，得到OC与AE平行，由两直线平行得到一对内错角相等，由OA=OC，根据“等边对等角”得到一对角相等，等量代换得证；
（2）由OC与AE平行，得到两对同位角相等，由两对对应角相等的两三角形相似，得到三角形COD与三角形AED相似，根据相似得比例，由OC，OD及AD的长即可求出AE的长；由CD²=DB•AD，且夹角∠D为公共角，根据两边对应成比例且夹角相等得到两三角形相似，且相似比为1：2，即可得到对应边BC：AC=1：2，即AC=2BC，由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到三角形ABC为直角三角形，根据勾股定理列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长．
点评：此题考查切线的性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质．遇到直线与圆相切，连接圆心与切点，是经常连接的辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．熟练掌握切线性质是解本题的关键．