Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M，N分别是AD，BC的中点，若∠B与∠C互余，则MN与BC-AD的关系是（　　）

• A、2MN＜BC-AD
• B、2MN＞BC-AD
• C、2MN=BC-AD
• D、MN=2（BC-AD）

Answer 1

分析：由题意，在梯形ABCD中，AD∥BC，M，N分别是AD，BC的中点，得MN与BC-AD的关系是：MN=

1

2

（BC-AD），先延长BA、CD，两延长线相交于点P，连接PM、PN，首先根据已知条件和直角三角形的性质证明P、M、N三点共线，然后利用斜边上的中线等于斜边的一半就可以证明结论．

解答：解：延长BA、CD，两延长线相交于点P，
连接PM、PN，
∵∠B+∠C=90°
∴∠P=90°
∵AD∥BC
∴∠PAD=∠B，
而M，N分别是AD，BC的中点
∴AM=MP，BN=PN
∴∠B=∠BPN，∠PAD=∠APM
∴∠APM=∠BPN
∴P、M、N三点共线
∵M是AD的中点，∠P=90°
∴PM=

1

2

AD
同理：PN=

1

2

BC
∵PN-PM=

1

2

（BC-AD）
∴MN=

1

2

（BC-AD）
∴2MN=BC-AD．
故选C．

点评：本题考查直角三角形的中线定义，关键要懂得：在一个直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，解题时还要注意选择适宜的辅助线．