Question

7．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，BC=2$\sqrt{3}$，⊙O的半径是2．

Answer 1

分析 先根据CD为⊙O的直径，CD⊥AB得出$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，故可得出∠C=$\frac{1}{2}$∠AOD，由对顶角相等得出∠AOD=∠COE，故可得出∠C=$\frac{1}{2}$∠COE，再根据AO⊥BC可知∠AEC=90°，故∠C=30°，再由直角三角形的性质可得出BF的长，进而求得AB的长，在Rt△OCE中根据∠C=30°即可得出OC的长．

解答 解：（1）∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，AF=BF，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AOD，
∵∠AOD=∠COE，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠COE，
∵AO⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴∠C=30°，
∵BC=2$\sqrt{3}$，
∴BF=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∴AB=2BF=2$\sqrt{3}$；
∵AO⊥BC，BC=2$\sqrt{3}$，
∴CE=BE=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∵∠C=30°，
∴OC=$\frac{CE}{cos30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，即⊙O的半径是2．
故答案是：2．

点评 本题考查的是垂径定理，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键．