Question

如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=4，E是BC边的中点，点P在对角线AC上，连接BP，EP，则△BPE周长最小值为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,菱形的性质

专题：

分析：连接BD，DE，则DE的长即为PE+PB的最小值，再根据菱形ABCD中，∠ABC=120°得出∠BCD的度数，进而判断出△BCD是等边三角形，故△CDE是直角三角形，根据勾股定理即可得出DE的长，进而求得△BPE周长最小值．

解答：解：连接BD，DE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴B、D关于直线AC对称，
∴DE的长即为PE+PB的最小值，
∵ABC=120°，
∴∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴DE⊥BC，BE=CE=

1

2

BC=

1

2

×4=2，
∴DE=

CD2-EC2

=

42-22

=2

3

，
∴△BPE周长最小值=PE+BP+BE=DE+BE=2

3

+2．
故答案为2

3

+2．

点评：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的应用、轴对称的性质，熟知菱形的性质及两点之间线段最短是解答此题的关键．