Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB边的中点O为圆心，线段OA的长为半径作圆，分别交BC、AC边于点D、E，DF⊥AC于点F，延长FD交AB延长线于点G．
（1）求证：FD是⊙O的切线．
（2）若BC=AD=4，求tan∠GDB的值．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠ABC，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD于点D，
∴FD是⊙O的切线；

（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，BC=AD=4，
∴CD=BD=2，
∴，
∵DF⊥OD，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠C=∠CDF+∠C=90°，
∴∠CDF=∠CAD，
∵∠GDB=∠CDF=∠CAD，
∴．
分析：（1）连接OD，要证明FD是⊙O的切线，即转化为证明DF⊥OD即可；
（2）利用圆周角定理和锐角三角函数以及已知条件证明∠GDB=∠CDF=∠CAD，即可求出tan∠GDB的值．
点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．