Question

如图，⊙P与x轴相切于坐标原点O，点A（0，2）是⊙P与y轴的交点，点B（，0）在x轴上，连接BP交⊙P于点C，连接AC并延长交x轴于点D．
（1）求BC的长；
（2）写出经过点A、点（1，0）、点（-1，6）的抛物线的解析式；
（3）求直线AC的函数解析式；
（4）点B在x轴上移动时，是否存在一点B′，使B′OP相似于△AOD？若存在，求出符合条件的点B'的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意，得OP=1，BO=2 2，CP=1．
在Rt△BOP中
∵BP²=OP²+BO²，
∴（BC+1）²=12+（2）²，
∴BC=2．

（2）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，
根据题意得：，
解得：，
则抛物线的解析式是：y=x²-3x+2．

（3）如图所示，过点C作CE⊥x轴于E，CF⊥y轴于F．
在△PBO中，
∵CF∥BO，
∴=．
即=，
解得CF=．
同理可求得CE=．
因此C（-，）．
设直线AC的函数关系式为y=kx+b（k≠0）．
把A（0，2），C（-，）两点代入关系式，得
，
解得 ．
∴所求函数关系式为y=x+2．

（4）如图所示，在x轴上存在点B，使△BOP与△AOD相似．
∵∠OPB＞∠OAD，
∴∠OPB≠∠OAD．
故若要△BOP与△AOD相似，
则∠OBP=∠OAD．
又∵∠OPB=2∠OAD，
∴∠OPB=2∠OBP．
∵∠OPB+∠OBP=90°，
∴3∠OBP=90°，
∴∠OBP=30°．
因此OB=cot30°•OP=．
∴B₁点坐标为（-3，0）．
根据对称性可求得符合条件的B₂坐标（，0）．
综上，符合条件的B点坐标有两个：
B₁（-，0），B₂（，0）．
分析：（1）在直角三角形BOP中，根据勾股定理列方程求解；
（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（3）要求直线AC的解析式，关键是求得点C的坐标．过点C作CE⊥x轴于E，CF⊥y轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得CE、CF的长，再根据点C所在的象限写出它的坐标，从而根据待定系数法写出直线的解析式．
（4）要使△BOP相似于△AOD，因为∠OPB＞∠OAD，所以∠OBP=∠OAD，结合圆周角定理，得∠OPB=2∠OBP，从而求得∠OBP=30°，则OB=cot30°•OP=，即可写出点B的坐标，再根据对称性可以写出点B的另一种情况．
点评：此题综合运用了勾股定理、切割线定理、圆周角定理、平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定方法．要求能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式．