Question

（2013•仓山区模拟）如图，⊙M与x轴相切与原点，平行于y轴的直线交⊙M于P、Q两点，P点在Q点的下方，若点P的坐标是(

2

，2-

2

)，PQ=2

2

．
（1）求⊙M的半径R；
（2）求图中阴影部分的面积（精确到0.1）；
（3）已知直线AB对应的一次函数y=x+2+2

2

，求证：AB是⊙M的切线．

Answer 1

分析：（1）过M作MN⊥PQ于N，由垂径定理求出PN，求出NE，即可得出答案；
（2）连接MQ，MP，分别求出扇形QMP的面积和三角形QMP的面积，即可求出答案；
（3）过M作MT⊥AB于T，证△MTB∽△AOB，得出比例式，求出MT=2，即可得出答案．

解答：解：（1）
过M作MN⊥PQ于N，
由垂径定理得：PN=QN=

1

2

PQ=

1

2

×2

2

=

2

，
∵点P的坐标是(

2

，2-

2

)，
∴NE=2-

2

+

2

=2，
∵MN⊥PQ，MO⊥OE，PQ⊥OE，
∴∠MOE=∠OEN=∠MNP=90°，
∴四边形MOEN是矩形，
∴OM=NE=2，
即⊙M的半径是2；

（1）解：
y=x+2+2

2

，
当x=0时y=2+2

2

，
当y=0时，x=-2-2

2

，
即AO=OB=2+2

2

，
由勾股定理得：AB=2

2

+4，
连接MQ，MP，
在Rt△PNM中，PM=MO=2，PN=

2

，由勾股定理得：MN=

2

，
即MN=NP，
∵∠MNP=90°，
∴∠NMP=45°，
同理：∠QMN=45°，
∴∠QMP=90°，
∴阴影部分的面积S=S_扇形QMP-S_△QMP=

90π•22

360

-

1

2

×2

2

×

2

=π-2；
（3）证明：

过M作MT⊥AB于T，
∵∠BOA=90°，
∴∠BTM=∠BOA，
∵∠ABO=∠MBT，
∴△BTM∽△BOA，
∴

BO

AB

=

OT

OA

，
∴

2+2 2

2 2 +4

=

MT

2+2 2

，
MT=2，
即MT⊥AB，MT为半径，
∴AB是⊙M的切线．

点评：本题考查了切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，扇形的面积，三角形的面积等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力．