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(2013•仓山区模拟)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是C(2,-1),与x轴交于点A(1,0),其对称轴与x轴相交于点F.
(1)求抛物线解析式;
(2)连接AC,过点A做AC的垂线交抛物线于点D,交对称轴于E,求直线AD的解析式;
(3)在(2)的条件下,连接BD,若点P在x轴正半轴,且以A、E、P为顶点的三角形与△ABD相似,求出所有满足条件的P点坐标.
分析:(1)可设该抛物线解析式为顶点式y=a(x-2)2-1.把点A的坐标代入来求a的值即可;
(2)根据点A、C的坐标求得∠FAC=45°,则∠DAB=45°,故可设直线AD的解析式为y=x+b.把点A的坐标代入并求得b的值;
(3)以A、E、P为顶点的三角形与△ABD相似,对于这两个三角形的对应角与对应边没有明确的情况下,需要分类讨论:①如图1,当△ABD∽△AEP时;②如图2,当△ABD∽△APE时;③如图3,当△ABD∽△PAE时.根据这些相似三角形的对应边成比例可以求得线段AP的长度.
解答:解:(1)∵已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是C(2,-1),
∴设该抛物线解析式为y=a(x-2)2-1(a≠0).
把点A(1,0)代入,
解得a=1,
∴该函数解析式为:y=(x-2)2-1.(或y=x2-4x+3).

(2)∵由(1)知,该函数解析式为:y=(x-2)2-1=(x-1)(x-3),
即y=(x-1)(x-3),
∴A(1,0).
∵顶点坐标是C(2,-1),CF是对称轴,
∴AF=CF=1,∠AFC=90°,
∴∠FAC=45°,
∵AC⊥AD,
∴∠DAB=45°,故可设直线AD的解析式为y=x+b.
把点A(1,0)代入,
解得b=-1,
∴直线AD的解析式为y=x-1.

(3)∵由(2)知,∠DAB=45°,即∠EAF=45°,
∴在直角△AEF中,∠EAF=∠AEF=45°,
∴AF=EF=1,
∴AE=
2
,AB=2.
∵点D的抛物线y=x2-4x+3与直线ADy=x-1的交点,
y=x2-4x+3
y=x-1

解得,
x=1
y=0
(不合题意,舍去),或
x=4
y=3

∴D(4,3),
∴AD=3
2
,BD=
10

①如图1,当△ABD∽△AEP时,
AB
AE
=
AD
AP
,即
2
2
=
3
2
AP

解得AP=3,
∴P(4,0);
②如图2,当△ABD∽△APE时,
AE
AD
=
AP
AB
,即
2
3
2
=
AP
2
,解得:AP=
2
3
,∴P(
4
3
,0);
③如图3,当△ABD∽△PAE时,
AB
PA
=
BD
AE
,即
2
PA
=
10
2
,解得,AP=
2
5
5
,∴P(1-
2
5
5
,0).
综上所述,满足条件的点P的坐标是(4,0)、(
4
3
,0)和(1-
2
5
5
,0).
点评:本题考查了二次函数综合题.其中涉及到的知识点有待定系数法求一次函数、二次函数解析式,相似三角形的判定与性质.第(3)小题中,用到了分类讨论的数学思想,难点在于考虑问题要全面,做到不重不漏.
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2
,2-
2
)
,PQ=2
2

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2
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