Question

16．平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，已知点A（2，0），点C（10，4），双曲线经过点D．
（1）求菱形ABCD的边长；
（2）求双曲线的解析式．

Answer 1

分析 （1）过点C作CE⊥AB于点E，设菱形的边长为x，则BC=AB=x，BE=10-2-x，在Rt△BEC中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值即可；
（2）设双曲线的解析式为y=$\frac{k}{x}$，过点D作DF⊥AB于点F，分别求出OF，DF的长，则点D的坐标可知，代入双曲线的解析式求出k的值即可．

解答 解：（1）设菱形的边长为x，则BC=AB=x，BE=10-2-x，
∵点C（10，4），
∴CE=4，
在Rt△BEC中，由勾股定理可得：BC²=BE²+CE²，
即x²=（10-2-x）²+4²，
解得：x=5，
∴菱形ABCD的边长为5；
（2）设双曲线的解析式为y=$\frac{k}{x}$，过点D作DF⊥AB于点F，
∵DC∥AB，点C（10，4），
∴DF=4，
∵AB=5，
∴OF=OE-EF=10-5=5，
∴点D（5，4），
∴k=20，
∴$y=\frac{20}{x}$．

点评 本题考查了菱形的性质、勾股定理的运用、解一元二次方程以及利用待定系数法求双曲线的解析式，解题的关键是做高线，构造直角三角形，利用勾股定理求出菱形的边长．