Question

5．如图，在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，$2\sqrt{3}}$）．
（1）求圆心的坐标；
（2）抛物线y=ax²+bx+c过O，A两点，且顶点在正比例函数y=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x的图象上，求抛物线的解析式；
（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D，E两点，试判断D，E两点是否在（2）中的抛物线上．

Answer 1

分析 （1）过点C作CH⊥OA于H，如图1，易证△ACH∽△ABO，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）可设抛物线的解析式为y=ax（x-2），然后用配方法求出顶点的坐标（用含有a的代数式表示），再将该顶点的坐标代入y=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x，就可解决问题；
（3）如图2，运用勾股定理求出⊙C的半径，从而求出点D、E的坐标，然后将这两点的坐标代入抛物线的解析式进行验证，就可解决问题．

解答 解：（1）过点C作CH⊥OA于H，如图1，
则有CH∥OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴$\frac{CH}{OB}$=$\frac{AH}{AO}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$．
∵A（2，0），B（0，$2\sqrt{3}}$），
∴OA=2，OB=2$\sqrt{3}$，
∴CH=$\sqrt{3}$，AH=1，
∴OH=OA-AH=2-1=1，
∴点C的坐标为（1，$\sqrt{3}$）；

（2）设抛物线的解析式为y=ax（x-2），
则y=a（x²-2x）=a[（x-1）²-1]=a（x-1）²-a，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，-a）．
∵该抛物线的顶点在正比例函数y=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x的图象上，
∴-a=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$×1，
∴a=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∴该抛物线的解析式为y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$（x-1）²-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；

（3）如图2，
∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙C的直径，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{4+12}$=4，
∴CD=CE=2．
由题可得D（1-2，$\sqrt{3}$）即（-1，$\sqrt{3}$），E（1+2，$\sqrt{3}$）即（3，$\sqrt{3}$）．
当x=-1时，y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$（-1-1）²-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$=$\sqrt{3}$；
当x=3时，y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$（3-1）²-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$=$\sqrt{3}$；
∴D、E两点都在抛物线y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$（x-1）²-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$上．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线上点的坐标特征、圆周角定理的推论、勾股定理等知识，有一定的综合性．