分析 （1）当∠AFD=30°时，AC∥DF，依据角平分线的定义可先求得∠CAF=∠FAB=30°，由内错角相等，两直线平行，可证明AC∥DF，；当∠AFD=60°时，DF⊥AB，由三角形的内角和定理证明即可；
（2）分为∠FAP=∠AFP，∠AFP=∠APF，∠APF=∠FAP三种情况求解即可；
（3）先依据三角形外角的性质证明∠FNM=30°+∠BMN，接下来再依据三角形外角的性质以及∠AFM和∠BMN的关系可证明∠FMN=30°+∠BMN，从而可得到∠FNM与∠FMN的关系．
解答 解：（1）如图1所示：
当∠AFD=30时，AC∥DF．
理由：∵∠CAB=60°，AF平分∠CAB，
∴∠CAF=30°．
∵∠AFD=30°，
∴∠CAF=∠AFD，
∴AC∥DF．
如图2所示：当∠AFD=60°时，DF⊥AB．
∵∠CAB=60°，AF平分∠CAB，
∴∠AFG=30°．
∵∠AFD=60°，
∴∠FGB=90°．
∴DF⊥AB．
故答案为：30；60．
（2）∵∠CAB=60°，AF平分∠CAB，
∴∠FAP=30°．
当如图3所示：
当∠FAP=∠AFP=30°时，∠APD=∠FAP+∠AFP=30°+30°=60°；
如图4所示：
当∠AFP=∠APF时．
∵∠FAP=30°，∠AFP=∠APF，
∴∠AFP=∠APF=$\frac{1}{2}$×（180°-30°）=$\frac{1}{2}$×150°=75°．
∴∠APD=∠FAP+∠AFP=30°+75°=105°；
如图5所示：
如图5所示：当∠APF=∠FAP=30°时．
∠APD=180°-30°=150°．
综上所述，∠APD的度数为60°或105°或150°．
（3）∠FMN=∠FNM．
理由：如图6所示：
∵∠FNM是△BMN的一个外角，
∴∠FNM=∠B+∠BMN．
∵∠B=30°，
∴∠FNM=∠B+∠BMN=30°+∠BMN．
∵∠BMF是△AFM的一个外角，
∴∠MBF=∠MAF+∠AFM，
即∠BMN+∠FMN=∠MAF+∠AFM．
又∵∠MAF=30°，∠AFM=2∠BMN，
∴∠BMN+∠FMN=30°+2∠BMN．
∴∠FMN=30°+∠BMN．
∴∠FNM=∠FMN．
点评 本题主要考查的是三角形的综合应用，解答本题主要应用了角平分线的定义、三角形的内角和定理、平行线的判定定理、三角形的外角的性质，依据三角形的外角的性质证得∠FNM=∠FMN是解题的关键．
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