Question

已知关于x的方程（m-1）x²-x-2=0．
（1）若x=-1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；
（2）当m为何实数时，方程有实数根；
（3）若x₁，x₂是方程的两个根，且，试求实数m的值．

Answer 1

解：（1）将x=-1代入原方程得m-1+1-2=0
解得：m=2，
设方程的另一根是x，则x-1=1
∴另一根为x=2．
（2）当m=1时，方程是一元一次方程，-x-2=0，此时的实数解为x=-2；
当m不等于1时，原方程为一元二次方程，要使方程有实数根，则有△=b²-4ac≥0，
∴1+4×2（m-1）≥0．
解得：m≥．
即当m≥时，方程有实数根．
（3）∵x₁+x₂=，x₁x₂=-．
x₁²x₂+x₁x₂²=x₁x₂（x₁+x₂）=（-）（）=-．
解得：m₁=5，m₂=-3，
∵m≥，
∴m=5．
分析：（1）根据方程的根的定义，把x=-1代入方程，即可求得m的值，根据一元二次方程的根与系数的关系可得两根的和是，即可求得方程的另一根；
（2）根据m=1和m≠1两种情况，当m≠1时方程有实数根，即判别式△≥0，即可得到关于m的不等式，从而求解；
（3）根据根与系数关系：两根之和等于，两根之积等于．且，即x₁x₂（x₁+x₂）=-．代入即可得到一个关于m的方程，从而求解．
点评：本题虽然问题较多，但是难度不大，可以依次代入求解，求解时要注意根与系数关系的应用．