Question

如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，F为垂足，交AC于点C使∠BED=∠C．请判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：直线AC与圆O的位置关系是相切，理由为：利用同弧所对的圆周角相等可得一对角相等，再由已知的两角相等，等量代换可得∠DAB=∠C，又OC垂直于AD，根据垂直定义可得∠AFO为90°，进而得到三角形AFO中两锐角互余，等量代换可得三角形AOC中两角互余，即∠CAO为90°，即可得到直线AC与圆的切线，得证．

解答：解：直线AC与圆O的位置关系是相切，理由为：
∵∠BED与∠DAB所对的弧都为

BD

，
∴∠BED=∠DAB，又∠BED=∠C，
∴∠DAB=∠C，
∵OC⊥AD，
∴∠AFO=90°，
∴∠DAB+∠AOC=90°，
∴∠C+∠AOC=90°，
∴∠OAC=90°，
∴AC⊥OA，
则AC为圆O的切线．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆周角定理，垂直定义，利用了转化及等量代换的思想，其中经过直径一端，且与直径垂直的直线为圆的切线，熟练掌握此性质是证明切线的关键．