Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直AB于点F，交BC于点G，连接PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：
（1）求证：CP是⊙O的切线．
（2）当∠ABC=30°，BG=，CG=时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程．
（3）若（1）的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG²=BF•BO成立？试写出你的猜想，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
∵∠OCB=∠B，∠BAC=∠BCP，
∴∠OCP=90°．
∴CP是⊙O的切线．

（2）解：∵∠B=30°，
∴∠A=60°，∠BGP=∠B+∠BFP=120°．
∴∠CGP=60°，
∴∠BCP=∠CGP=60°．
∴△CPG是正三角形．
∴PG=CP=．
∵PC切⊙O于C，
∴PC²=PD•PE=．
又∵BC=，
∴AB=12，FD=，FG=．
∴PD=2．
∴PD+PE=．
∴以PD、PE为两根的一元二次方程为x²-10x+48=0．

（3）解：当G为BC中点，OG⊥BC，OG∥AC或∠BOG=∠BAC时，
结论BG²=BF•BO成立．要让此结论成立，只要证明△BFG∽△BGO即可，凡是能使△BFG∽△BGO的条件都可以．
分析：（1）连接OC，证∠OCP=90°即可；
（2）根据已知条件发现等边三角形CPG，则PC=CG．根据切割线定理求得PD和PE的积；再根据等边三角形的性质和30°的直角三角形的性质求得PD，PE的长，从而写出方程；
（3）要让此结论成立，只要证明△BFG∽△BGO即可，凡是能使△BFG∽△BGO的条件都可以．
点评：此题主要考查切线的判定，切割线定理，相似三角形的判定及根与系数关系的综合运用能力．