Question

如图，直线y=2x+2与x轴，y轴分别交于A、B两点，点C是在第一象限内此直线上的一个动点，以BC为直角边作如图所示的等腰直角三角形BCD，点E在过A、C、D三点的圆上，且DE⊥BD，连结CE、AD．
（1）找出图中一对相似三角形（不再标记字母），并说明理由；
（2）在C的运动过程中，DE的长度是否改变？若不变，请求出DE的长；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，即可的到BAD=∠DEC，根据三角形外角的性质得出∠ABD=∠EDC，从而得到△ABD∽△EDC；
（2）根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．

解答：解：（1）连接AC．
∵∠BAD与∠DEC是同弧所对的圆周角，
∴∠BAD=∠DEC，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴∠DBC=∠BDC=45°，∠ABD=180°-45°=135°，
∵DE⊥BD，
∴∠ADE=90°，
∴∠EDC=∠BDC+∠BDE=45°+90°=135°，
∴∠ABD=∠EDC，
∴△ABD∽△EDC；

（2）DE的长度不变．
AB=

5

，
∵△ABD∽△EDC，
∴

DE

AB

=

DC

BD

，则DE=

2

2

AB=

10

2

．

点评：本题是圆周角定理与相似三角形的判定与性质的综合应用，正确根据圆周角定理得到相等的角是关键．