Question

14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于N，若AC=8，MB=2MC，求AB的长．

Answer 1

分析 首先连接AM，由MN是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AM=BM，又由MB=2MC，可设CM=x，则AM=2x，然后由△ABC中，∠C=90°，AC=8，由勾股定理即可求得方程，解此方程即可求得CM的长，继而求得AB的长．

解答 解：连接AM，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∵MB=2MC，
设CM=x，则AM=2x，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AM²=CM²+AC²，
∴（2x）²=x²+8²，
解得：x=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴CM=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，AM=BM=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴BC=CM+BM=8$\sqrt{3}$，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=16．

点评 此题考查了线段垂直平分线的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．