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    已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．

    (1)如图①，当AM＝BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM＝AM，PN＝BN，△PMN的形状是________．线段AM、BN、MN之间的数量关系是________)；

    (2)如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是________，试证明你的猜想；

    (3)当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是________．(不要求证明)

    答案：
    解析：

    　　解：(1)根据折叠的性质知：

    　　△CAM≌△CPM，△CNB≌△CNP；

    　　∴AM＝PM，∠A＝∠CPM，PN＝NB，∠B＝∠CPN．

    　　∴∠MPN＝∠A＋∠B＝90°，PM＝PN＝AM＝BN．

    　　故△PMN是等腰直角三角形，AM2＋BN2＝MN2(或AM＝BN＝MN)．

    　　(2)AM2＋BN2＝MN2；

    　　将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF上的D点，得△DCM，连结DN，则△ACM≌△DCM，

    　　∴CD＝CA，DM＝AM，∠DCM＝∠ACM．

    　　∵∠ACE＋∠FCB＝∠ECF＝∠ECD＋∠DCF，

    　　又∵∠ACE＝∠ECD，

    　　∴∠FCB＝∠DCF．

    　　在△DCN和△BCN中，

    　　CN＝CN，∠DCN＝∠BCN，CD＝BC，

    　　∴△DCN≌△BCN．

    　　∴DN＝BN．

    　　而∠MDC＝∠A＝45°，∠CDN＝∠B＝45°，

    　　∴∠MDN＝90°，

    　　∴DM2＋DN2＝MN2，

    　　故AM2＋BN2＝MN2．

    　　(3)AM2＋BN2＝MN2；解法同(2)．


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    A、
    168
    5
    π
    B、24π
    C、
    84
    5
    π
    D、12π

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    72
    °．

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