Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t何值时，四边形MNCD是平行四边形？
（2）当t何值时，四边形MNCD是直角梯形？
（3）当t何值时，四边形MNCD是等腰梯形？

Answer 1

解：∵点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，
∴若点M运动到点D，则t=15÷1=15秒，
过点N运动到点B，则t=21÷2=10.5秒，
∵一点到达端点时，另一点也随之停止运动，
∴0＜t≤10.5，
（1）∵点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，
∴MD=AD-AM=15-t，CN=2t，
四边形MNCD是平行四边形时，MD=CN，
∴15-t=2t，
解得t=5；

（2）∵点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，
∴AM=t，BN=BC-CN=21-2t，
四边形MNCD是直角梯形时，AM=BN，
∴t=21-2t，
解得t=7；

（3）如图，过点D作DE⊥BC于E，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE=AD=15cm，
∴CE=BC-BE=21-15=6cm，
四边形MNCD是等腰梯形时，CN=2CE+MD，
∴2t=2×6+15-t，
解得t=9．
分析：先求出t的取值范围．
（1）用t表示出MD、CN，然后根据平行四边形对边相等可得MD=CN，然后计算即可得解；
（2）用t表示出AM、BN，然后根据四边形MNCD是直角梯形时，AM=BN，列出方程计算即可得解；
（3）过点D作DE⊥BC于E，然后判断出四边形ABED是矩形，根据矩形的对边相等求出BE，再求出CE，然后表示出MD，再根据等腰梯形的性质，四边形MNCD为等腰梯形时，CN=2CE+MD，列出方程求解即可．
点评：本题考查了梯形，平行四边形的性质，直角梯形的性质，等腰梯形的性质，熟练掌握各图形的性质，分别列出关于t的方程是解题的关键．