Question

1．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．
（1）求证：△BCP≌△DCP；
（2）求证：∠DPE=∠ABC；
（3）把正方形ABCD改为菱形ABCD，且∠ABC=60°，其他条件不变，如图2．连接DE，试探究线段BP与线段DE的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得∠BCP=∠DCP，然后利用“边角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBP=∠CDP，根据等边对等角可得∠CBP=∠E，然后求出∠DPE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得证；
（3）结论：DE=PB．只要证明△PDE是等边三角形即可解决问题；

解答 （1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，
∵在△BCP和△DCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCP=∠DCP}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△DCP（SAS）；

（2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP，
∴∠CBP=∠CDP，
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠E，
∵∠1=∠2（对顶角相等），
∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E，
即∠DPE=∠DCE
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DPE=∠ABC；

（3）解：结论：DE=PB．
理由：由（1）知PD=PB=PE，
由（2）知，∠DPE=∠ABC=60°，
∴△PDE是等边三角形，
∴DE=PE=PB
∴DE=PB．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠BCP=∠DCP是解题的关键．