Question

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+1）²+c （a>0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为M若直线MC的函数表达式为y=kx-3，与x轴的交点为N，且。

（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q，若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

Answer 1

解：示意图如图所示， （1）∵直线MC的函数表达式为y=kx-3， ∴点C（0，-3）， ∵， ∴可设|OC|=3t（t>0），， 则由勾股定理，得|OB|=t， 而|OC|=3t=3， ∴t=1， ∴|OB|=1， ∴点B（1，0）， ∵点B（1，0）、C（0，-3）在抛物线上， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为y=（x+1）2-4=x2+2x-3； （2）假设在抛物线上存在异于点C的点P， 使以N、P、C 为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形； ①若PN为另一条直角边， ∵点M（-1，-4）在直线MC上， ∴-4=-k-3，即k=1， ∴直线MC的函数表达式为y=x-3， 易得直线MC与x轴的交点N的坐标为N（3，0）， ∵|OC|=|ON|， ∴∠CNO=45°， 在y轴上取点D（0，3），连接ND交抛物线于点P， ∵|ON|=|OD|， ∴∠DNO=45°， ∴∠PNC=90°， 设直线ND的函数表达式为y=mx+n， 由，解得， ∴直线ND的函数表达式为y=-x+3， 设点P（x，-x+3），代入抛物线的函数表达式，得 -x+3=x2+2x-3，即x2+3x-6=0，解得， ∴， ∴满足条件的点为； ②若PC是另一条直角边， ∵点A是抛物线与x轴的另一交点， ∴点A的坐标为（-3，0）， 连接AC， ∵|OA|=|OC|， ∴∠OCA=45°， 又∠OCN=45°， ∴∠ACN=90°， ∴点A就是所求的点P3（-3，0）； 综上可知，在抛物线上存在满足条件的点，有3个，分别为 ，P3（-3，0）； （3）若抛物线沿其对称轴向上平移，设向上平移b（b>0）个单位， 可设函数表达式为y=x2+2x-3+b， 由，消去y，得x2+x+b=0， ∴要使抛物线与线段NQ总有交点，必须Δ=1-4b≥0，即， ∴， ∴若抛物线向上平移，最多可平移个单位长度； ②若抛物线沿其对称轴向下平移，设向下平移b（b>0）个单位， 可设函数表达式为y=x2+2x-3-b， ∵当x=-3时，y=-b； 当x=3时，y=12-b， 易求得Q（-3，-6），又N（3，0）， ∴要使抛物线与线段NQ总有交点，必须-b≥-6或12-b≥0，即b≤6或b≤12， ∴0<b≤12， ∴若抛物线向下平移，最多可平移12个单位长度； 综上可知，若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则向上最多可平移个单位长度，向下最多可平移12个单位长度。