Question

如图，P是等腰△ABC内一点，AB=BC，连接PA，PB，PC．

（1）如图1，当∠ABC=90°时，将△PAB绕B点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形；
（2）在（1）中，若PA=2，PB=4，PC=6，求∠APB的大小；
（3）当∠ABC=60°时，且PA=3，PB=4，PC=5，则△APC的面积是______（直接填答案）

Answer 1

解：（1）如图1所示，△P′CB即为所求；


（2）如图2，连结PP′．
∵将△PAB绕B点顺时针旋转90°，与△P′CB重合，
∴△PAB≌△P′CB，∠PBP′=90°，
∴BP=BP′，∠APB=∠CP′B，AP=CP′=2，
∴△PBP′是等腰直角三角形，
∴PP′=PB=4，∠BP′P=45°．
在△CPP′中，∵PP′=4，CP′=2，PC=6，
∴PP′²+CP′²=PC²，
∴△CP′P是直角三角形，∠CP′P=90°，
∴∠CP′B=∠BP′P+∠CP′P=45°+90°=135°；

（3）如图3①，将△PAB绕A点逆时针旋转60°得到△P₁AC，连结PP₁，
∴△APB≌△AP₁C，
∴AP=AP₁，∠PAP₁=60°，CP₁=BP=4，
∴△PAP₁是等边三角形，
∴PP₁=AP=3，
∵CP=5，CP₁=4，PP₁=3，
∴PP₁²+CP₁²=CP²，
∴△CP₁P是直角三角形，∠CP₁P=90°，
∴S_△APP1=×3×=，S_△PP1C=×3×4=6，
∴S_{四边形APCP1}=S_△APP1+S_△PP1C=+6；
∵△APB≌△AP₁C，
∴S_△ABP+S_△APC=S_{四边形APCP1}=+6；
如图3②，同理可求：△ABP和△BPC的面积的和=×4×+×3×4=4+6，
△APC和△BPC的面积的和=×5×+×3×4=+6，
∴△ABC的面积=（+6+4+6++6）=+9，
∴△APC的面积=△ABC的面积-△APB与△BPC的面积的和=（+9）-（4+6）=+3．
故答案为+3．
分析：（1）由AB=BC，∠ABC=90°可知点A旋转到点C，在BC的下方过点B作BP的垂线，并且在垂线上截取BP′=BP，则P′为点P绕B点顺时针旋转90°以后的对应点，△P′CB即为所求；
（2）连结PP′，求出△PBP′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得PP′=4，∠BP′P=45°，再利用勾股定理逆定理求出∠CP′P=90°，然后计算即可得解；
（3）根据全等三角形的面积相等求出△APB与△APC的面积之和等于四边形APCP₁的面积，然后根据等边三角形的面积与直角三角形的面积列式计算即可得解，同理求出△ABP和△BPC的面积的和，△APC和△BPC的面积的和，从而求出△ABC的面积，然后根据△BPC的面积=△ABC的面积-△APB与△APC的面积的和计算即可得解．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，其中（3）较为复杂，求出△ABC的面积是解题的关键．