Question

6．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．
（1）求证：四边形AFHG为正方形；
（2）若BD=6，CD=4，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质可得到的条件是：①AG=AD=AF，②∠GAF=∠GAD+∠DAF=2∠BAC=90°，且∠G=∠F=90°；由②可判定四边形AGHF是矩形，由AG=AF可证得四边形AGHF是正方形；
（2）设AD=x，由折叠的性质可得：AD=AF=x（即正方形的边长为x），BG=BD=6，CF=CD=4；进而可用x表示出BH、HC的长，即可在Rt△BHC中，由勾股定理求得AD的长，进而可求出AB的长．

解答 证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°；
由折叠可知，AG=AF=AD，∠AGH=∠AFH=90°，
∠BAG=∠BAD，∠CAF=∠CAD，
∴∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°；
∴∠GAF=∠BAG+∠CAF+∠BAC=90°；
∴四边形AFHG是正方形，
解：（2）∵四边形AFHG是正方形，
∴∠BHC=90°，
又GH=HF=AD，GB=BD=6，CF=CD=4；
设AD的长为x，则BH=GH-GB=x-6，CH=HF-CF=x-4．
在Rt△BCH中，BH²+CH²=BC²，
∴（x-6）²+（x-4）²=10²，
解得x₁=12，x₂=-2（不合题意，舍去），
∴AD=12，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{144+36}$=6$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了垂径定理、勾股定理、正方形的判定和性质以及图形的翻折变换等知识，能够根据折叠的性质得到与所求相关的相等角和相等边是解答此题的关键．