Question

【题目】如图，直线y＝ax+2与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与双曲线y＝（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝4，点A的坐标为（﹣4，0）．

（1）求双曲线的解析式；

（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，过点Q作QH⊥x轴于点H，当以点Q，C，H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）点Q的坐标为（2+2，4﹣4）或（8，2）

【解析】

（1）把A坐标代入直线解析式求出a的值，确定出直线解析式，把y＝4代入直线解析式求出x的值，确定出P坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出双曲线解析式；

（2）设Q（m，），分两种情况考虑：当△QCH∽△BAO时；当△QCH∽△ABO时，由相似得比例求出m的值，即可得出Q坐标．

解：（1）把A（﹣4，0）代入y＝ax+2，

得，﹣4a+2＝0，解得a＝，

故直线AB的解析式为y＝x+2，

把y＝4代入y＝x+2，得x+2＝4，

解得x＝4，

∴点P（4，4）．

把P（4，4）代入y＝，得k＝16，

故双曲线的解析式为y＝；

（2）把x＝0代入y＝x+2，得y＝2，

∴点B的坐标为（0，2），

∴OB＝2，

∵A（﹣4，0），

∴OA＝4，

设Q（m，），则CH＝m﹣4，QH＝，

由题意可知∠AOB＝∠QHC＝90°，

当△AOB△QHC时，

，即，

解得：m1＝2+2，m22﹣2 （不合题意，舍去），

∴点Q的坐标为（2+2，4﹣4），

当△BOA△QHC时，

，即，

解得m1＝8，m2＝﹣4（不合题意，舍去），

∴点Q的坐标为（8，2）．

综上可知，点Q的坐标为（2+2，4﹣4）或（8，2）．