Question

关于x的一元二次方程x²-（m-3）x-m²=0．
（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设这个方程的两个实数根为x₁，x₂，且|x₁|=|x₂|-2，求m的值及方程的根．

Answer 1

【答案】分析：（1）找出一元二次方程中的a，b及c，表示出b²-4ac，然后判断出b²-4ac大于0，即可得到原方程有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，判断出两根之积小于0，得到两根异号，分两种情况考虑：若x₁＞0，x₂＜0，利用绝对值的代数意义化简已知的等式，将表示出的两根之和代入，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而确定出方程，求出方程的解即可；若x₁＜0，x₂＞0，同理求出m的值及方程的解．
解答：解：（1）一元二次方程x²-（m-3）x-m²=0，
∵a=1，b=-（m-3）=3-m，c=-m²，
∴△=b²-4ac=（3-m）²-4×1×（-m²）=5m²-6m+9=5（m-）²+，
∴△＞0，
则方程有两个不相等的实数根；

（2）∵x₁•x₂==-m²≤0，x₁+x₂=m-3，
∴x₁，x₂异号，
又|x₁|=|x₂|-2，即|x₁|-|x₂|=-2，
若x₁＞0，x₂＜0，上式化简得：x₁+x₂=-2，
∴m-3=-2，即m=1，
方程化为x²+2x-1=0，
解得：x₁=-1+，x₂=-1-，
若x₁＜0，x₂＞0，上式化简得：-（x₁+x₂）=-2，
∴x₁+x₂=m-3=2，即m=5，
方程化为x²-2x-25=0，
解得：x₁=1-，x₂=1+．
点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），当b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac＜0时，方程没有实数根．