Question

16．Rt△ABC中，AB=3，∠BAC=90°，M是斜边BC上一点，将三角ABM沿AM翻折后，B恰好落在AC的三等分点，则M到直线AC的距离是$\frac{9}{4}$或$\frac{9}{5}$．

Answer 1

分析 分AC=3AB′和AC=$\frac{3}{2}$AB′两种情况，根据翻转变换的性质和角平分线的性质定理、结合三角形的面积公式计算即可．

解答 解：如图，当AC=3AB′=9时，
过点M作ME⊥AB于E，过点M作MF⊥AC于F，
由折叠的性质可得：∠BAM=∠CAM，
∴MF=ME，
S_△BAC=S_△BAM+S_△CAM，
即$\frac{1}{2}$×AB•AC=$\frac{1}{2}$×AB•ME+$\frac{1}{2}$×AC•MF，
∴$\frac{1}{2}$×3×9=$\frac{1}{2}$×ME×3+$\frac{1}{2}$×9×ME，
解得：MF=$\frac{9}{4}$；
当AC=$\frac{3}{2}$AB′=$\frac{9}{2}$时，
$\frac{1}{2}$×3×$\frac{9}{2}$=$\frac{1}{2}$×ME×3+$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×ME，
解得，MF=$\frac{9}{5}$，
∴点M到AC的距离是$\frac{9}{4}$或$\frac{9}{5}$．
故答案为：$\frac{9}{4}$或$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查的是翻折变换的性质、角平分线的性质，翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解答时，注意分情况讨论思想的运用．