Question

如图，矩形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（3，0）、（0，5）．
（1）直接写出B点坐标；
（2）若过点C的直线CD交AB边于点D，且把矩形OABC的周长分为1：3两部分，求直线CD的解析式；
（3）在（2）的条件下，试问在坐标轴上是否存在点E，使以C、D、E为顶点的三角形与以B、C、D为顶点的三角形相似？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）B点的坐标是（3，5）；

（2）设直线与AB的交点是D．
设AD=x，则[3+（5-x）]：（8+x）=1：3，解得x=4，
因而D的坐标是（3，4）．
设CD的解析式是y=kx+b，根据题意得到，解得，
则函数的解析式是y=-x+5．

（3）①当点E在y轴上，且△BCD∽△DEC时，
∠CDE=∠B=90°，
则=，即=，
解得CE=10．因而OE=5，则E的坐标是（0，-5）．
②当点E在y轴上，且△BCD∽△EDC时，∠CED=∠B=90°，
则=1，
∴BD=EC=1，
∴E的坐标是（0，4）．
③当E在x轴上时，C、D到x轴的距离都大与CD的长，则CD不可能是斜边，
当C是直角顶点时，过C且垂直于CD的直线的解析式是：y=3x+5，与x轴的交点坐标是：E（-，0），则EC=，
∴=，则△ECD∽△CBD；
当D是直角顶点时，过D且垂直于CD的直线的解析式是：y=3x-5，与x轴的交点坐标是E（，0），
则ED=，△ECD和△CBD不相似．
∴点E的坐标为（0，-5）或（0，4）或（-，0）．
分析：求函数的解析式，可以根据直线CD把矩形OABC的周长分为1：3两部分，就可以求出D点的坐标，利用待定系数法就可以求出解析式．根据三角形相似，对应边的比相等，可以求出点的坐标．
点评：本题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式．