Question

如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交AB于点G，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠ACD的角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若△ABC是以AB为斜边的直角三角形，猜想并证明当点O运动到何处时四边形AECF为正方形？此时，如果AE=，AB=4，求sin∠BAE的值．

Answer 1

（1）证明：∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，∠OFC=∠FCD．
又∵CE平分∠ACB，FC平分∠ACD．
∴∠ECB=∠OCE，∠OCF=∠FCD，
∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，
∴EO=OC，FO=OC，
∴EO=FO；

（2）解：当点O运动到AC中点时，四边形AECF为正方形．理由如下：
由（1）知，OE=OC=OF，
当OC=OA，即点O为AC的中点时，
∴OE=OC=OF=OA，
∴四边形AECF是平行四边形，AC=EF，
∴这时四边形AECF是矩形；
又∵∠ACB=90°，MN∥BC，
∴∠AOE=∠ACB=90°，
∴AC⊥EF，
∴矩形AECF是正方形．
∴AE=CE=，∠AEC=90°，
∴AC=2，OA=OE=1．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=4，AC=2，
∴sin∠B===，
∴∠B=30°，
∴∠AGO=∠B=30°，OG=OA=．
过E作EH⊥AB于H，设EH=x，则GE=2x，
∵GE+OE=OG，
∴2x+1=，
∴x=．
在Rt△AHE中，sin∠HAE===，
∴sin∠BAE=．
分析：（1）由直线MN∥BC，MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，易证得△EOC与△FOC是等腰三角形，即可得OE=OF；
（2）由（1）知，OE=OC=OF，当OC=OA，即点O为AC的中点时，可得OE=OC=OF=OA，证得四边形AECF是矩形；再由∠ACB=90°，MN∥BC，得出AC⊥EF，从而证明矩形AECF是正方形；根据正方形的性质及勾股定理求出AC=2，OA=OE=1，在Rt△ABC中，由正弦函数的定义得到∠B=30°，则∠AGO=30°，OG=．过E作EH⊥AB于H，设EH=x，由GE+OE=OG，列出方程2x+1=，解方程求出x=，然后在Rt△AHE中，利用正弦函数的定义求出sin∠HAE的值，即可得到sin∠BAE的值．
点评：此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，正方形、矩形的判定与性质，解直角三角形．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．