Question

如图，在△ABC中，∠ABC=5∠ACB，BD与∠A的平分线垂直于H，DE⊥BC，若M是BC边的中点，求证：（1）∠DBC=2∠C；（2）EM=BD．

Answer 1

证明：（1）在RT△ABH和RT△ADH中，
，
∴△ABH≌△ADH（ASA），
∴∠ADH=∠ABH，BH=DH，
∵∠ADB=∠C+∠DBC（三角形的外角性质），∠ABC=∠ABD+∠DBC=5∠ACB，
∴∠C+∠DBC+∠DBC=5∠C，
故有∠DBC=2∠C．

（2）连接HM、HE，
∵M是BC边的中点，DE⊥BC，
∴HM是△BDC的中位线，HE=HD=HB，
∴∠DBC=∠HEB，
由（1）得，∠DBC=∠HEB=2∠C=2∠HME，
又∵∠HEB=∠HME+∠EHM（三角形的外角的性质），
∴∠HME=∠EHM，
∴HE=EM=BD．
分析：（1）可先证△ABH≌△ADH，这样得出∠ADH=∠ABH，BH=DH，利用三角形的外角可得∠ADB=∠C+∠DBC，再结合∠ABC=∠ABD+∠DBC=5∠ACB，可证得结论．
（2）连接HM、HE，则可得HM是△BDC的中位线，HE=HD=HB，结合（1）∠DBC=2∠C=2∠HME，可得出∠HME=∠EHM，即得出HE=EM，转化后即可得出所要证的结论．
点评：本题考查三角形的中位线定理、线段垂直平分线的性质及直角三角形的斜边中线，属于综合型题目，有一定的难度，解答本题有两点比较关键，①利用中垂线的性质得出△ABH≌△ADH，②掌握直角三角形的斜边中线等于斜边一半得出HE=HD=HB=BD，另外角的性质在本题中了得到了应用．