Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD，CE分别是AB边上的中线和高．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AC=2，求△CDE的周长．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得CD=AD，根据直角三角形的两个锐角互余，得∠A=60°，从而判定△ACD是等边三角形，再根据等腰三角形的三线合一的性质即可证明；
（2）结合（1）中的结论，求得CD=2，DE=1，只需根据勾股定理求得CE的长即可．

解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，
∴CD=AD=DB．
∵∠B=30°，
∴∠A=60°．
∴△ACD是等边三角形．
∵CE是斜边AB上的高，
∴AE=ED．

（2）解：由（1）得AC=CD=AD=2ED，
又AC=2，
∴CD=2，ED=1．
∴CE=

22-1

=

3

．
∴△CDE的周长=CD+ED+CE=2+1+

3

=3+

3

．

点评：此题综合运用了直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形的两个锐角互余．
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．