Question

已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．
（1）求证：AE=AF；
（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．

Answer 1

分析：（1）由已知条件证明△ABE≌△ADF，根据全等三角形的性质可得到AE=AF；
（2）连接AC，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形即可得证．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF；
（2）连接AC，
∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，
∴AB=AC=AD．
∵AB=BC=CD=DA，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形．
∴∠CAE=∠BAE=30°，∠CAF=∠DAF=30°．
∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°
又∵AE=AF，
∴△AEF是等边三角形．

点评：本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定和性质等边三角形的判定和性质，题目的综合性很强，难度中等．