Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．

（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为　    　；

（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．

（3）连接AD，当OC∥AD时，

①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）45°或135°。

（2）当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大。

过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，

∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=6。

∴OE=AB=3。

∴CE=OC+CE=3+3。

∴△ABC的面积。

∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为。

（3）①如图，过C点作CF⊥x轴于F，

∵OD⊥OC，OC∥AD，∴∠ADO=∠COD=90°。

∴∠DOA+∠DAO=90°。

∵∠DOA+∠COF=90°，∴∠COF=∠DAO。

∴Rt△OCF∽Rt△AOD。，

∴，即，解得。

在Rt△OCF中，，

∴C点坐标为。

②直线BC是⊙O的切线。理由如下：

在Rt△OCF中，OC=3，OF=，∴。∴∠COF=30°。

∴∠OAD=30°。∴∠BOC=60°，∠AOD=60°。

∵在△BOC和△AOD中，，

∴△BOC≌△AOD（SAS）。

∴∠BCO=∠ADC=90°，∴OC⊥BC。

∴直线BC为⊙O的切线。

【解析】

试题分析：（1）∵点A（6，0），点B（0，6），∴OA=OB=6。∴△OAB为等腰直角三角形。

∴∠OBA=45°。

∵OC∥AB，

∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°；

当C点在y轴右侧时，∠BOC=180°﹣∠OBA=135°。

（2）由△OAB为等腰直角三角形得AB=OA=6，根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE，然后计算△ABC的面积。

（3）①过C点作CF⊥x轴于F，易证Rt△OCF∽Rt△AOD，则，即，解得，再利用勾股定理计算出，则可得到C点坐标。

②由于OC=3，OF=，所以∠COF=30°，则可得到BOC=60°，∠AOD=60°，然后根据“SAS”判断△BOC≌△AOD，所以∠BCO=∠ADC=90°，再根据切线的判定定理可确定直线BC为⊙O的切线。