Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；
（1）证明：EF=EA；
（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．

Answer 1

（1）证明：
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．
∵E为CD的中点，
∴ED=EC．
∴△ADE≌△FCE（AAS）．
∴EF=EA．

（2）解：连接GA，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠DAB=90°．
∵DG⊥BC，
∴四边形ABGD是矩形．
∴BG=AD，GA=BD．
∵BD=BC，
∴GA=BC．
由（1）得△ADE≌△FCE，
∴AD=FC．
∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．
∵由（1）得EF=EA，
∴EG⊥AF．
分析：（1）求简单的线段相等，可证它们所在的三角形全等，即证明△ADE≌△FCE即可；
（2）由（1）知FE=EA，若EG⊥AF，则△AGF必为等腰三角形，因此可连接AG，证AG=GF；
易知四边形ABGD是矩形，则AG=BD=DC，AD=BG；由（1）知：AD=CF=BG，即可证得AG=FG=BC，进而可根据等腰三角形三线合一的性质得出所求的结论．
点评：此题综合考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，综合性强，难度较大．